Chap 15 : Calcul intégral (partie n°1)

Approche historique

Le calcul intégral, aussi appelé intégration, est une branche importante des mathématiques qui étudie les propriétés des intégrales et des fonctions intégrables. Son histoire remonte au XVIIe siècle, lorsque les mathématiciens cherchaient à résoudre des problèmes liés à la physique, comme le calcul de la vitesse d'un objet en mouvement ou la quantité de travail effectué par une force.

L'un des premiers à avoir travaillé sur le calcul intégral est l'anglais John Wallis, qui a développé une méthode pour calculer l'aire sous une courbe en 1655. Isaac Barrow, un autre mathématicien anglais, a également contribué au développement du calcul intégral en introduisant la notion de tangente et en démontrant un théorème sur la détermination de l'aire d'une surface courbe.

Cependant, c'est le travail de Gottfried Wilhelm Leibniz et d'Isaac Newton qui a jeté les bases modernes du calcul intégral. En utilisant une notation différentielle, ils ont créé une méthode puissante pour calculer les intégrales qui a permis de résoudre de nombreux problèmes en physique et en ingénierie. Le calcul intégral est également devenu une branche importante des mathématiques pures, avec des applications dans de nombreux domaines, notamment l'analyse mathématique, la géométrie, la théorie des nombres et la théorie des probabilités.

Aujourd'hui, le calcul intégral est utilisé dans de nombreux domaines pratiques, tels que l'ingénierie, la physique, la finance et l'informatique. Par exemple, il est utilisé pour calculer des volumes, des aires, des moments d'inertie et des centres de gravité dans la conception de structures, ainsi que pour modéliser des phénomènes physiques tels que les mouvements des fluides et des solides. En finance, le calcul intégral est utilisé pour déterminer les taux de rendement et les risques des investissements, tandis qu'en informatique, il est utilisé dans la conception d'algorithmes de traitement du signal et d'apprentissage automatique.

A quoi ça sert ?

Le calcul intégral est utilisé pour calculer les aires, les volumes, les centres de masse, les moments d'inertie, les travaux et les énergies dans les domaines scientifiques et techniques tels que la physique, l'ingénierie, la mécanique, la statistique, l'économie, etc. Il est également utilisé pour résoudre des équations différentielles, pour déterminer les valeurs maximales et minimales des fonctions, pour analyser les trajectoires de courbes, pour calculer les probabilités dans le domaine des statistiques et des probabilités, et pour d'autres applications mathématiques avancées.

Par exemple, dans le domaine de la physique, le calcul intégral est utilisé pour calculer l'énergie potentielle et cinétique d'un objet en mouvement, la force d'interaction entre des particules, la densité de probabilité pour les fonctions d'onde dans la mécanique quantique, et pour résoudre des problèmes de cinématique et de dynamique des corps.

• La physique : par exemple, l'équation de Schrödinger en mécanique quantique, l'équation de Navier-Stokes en mécanique des fluides, l'équation de la chaleur en thermodynamique, etc.
• L'ingénierie : par exemple, la modélisation de la dynamique des systèmes mécaniques, électriques, hydrauliques et thermiques, la conception de contrôleurs pour les systèmes de contrôle de processus, etc.
• La biologie : par exemple, la modélisation de la croissance de populations de cellules, la modélisation de la propagation de signaux électriques dans le cœur, la modélisation de la diffusion de molécules dans les tissus, etc.
• L'économie : par exemple, la modélisation de la croissance économique, la modélisation de la dynamique des marchés financiers, etc.
• Les sciences sociales : par exemple, la modélisation de la propagation de maladies dans les populations, la modélisation de la dynamique des interactions sociales, etc.

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