Chap 12 : Primitives, équations différentielles (partie n°2)

Approche historique

Les équations différentielles ont une longue histoire, remontant à l'Antiquité grecque, mais leur développement en tant que domaine mathématique distinct a commencé au XVIIe siècle avec les travaux de Leibniz, Newton et Bernoulli. Les équations différentielles sont des équations qui impliquent une fonction et ses dérivées. Elles se présentent souvent sous la forme d'une équation dans laquelle la dérivée d'une fonction est égale à une autre fonction.

Au XVIIIe siècle, les équations différentielles ont été largement utilisées pour résoudre des problèmes de physique et d'ingénierie, tels que la modélisation du mouvement des planètes autour du Soleil, la détermination des lois du mouvement des corps en chute libre, et la compréhension des phénomènes de la mécanique des fluides.

Au XIXe siècle, les mathématiciens ont commencé à étudier les propriétés générales des équations différentielles, comme leur existence et leur unicité de solutions, et ont développé des méthodes pour les résoudre de manière plus systématique. Les équations différentielles ont également été utilisées pour étudier les phénomènes dans les domaines de la thermodynamique, de l'électromagnétisme, de l'optique et de la mécanique quantique.

Au XXe siècle, les équations différentielles ont continué d'être un domaine de recherche important en mathématiques appliquées, en physique et en ingénierie. De nouvelles techniques ont été développées pour résoudre des équations différentielles complexes et pour étudier leur comportement à long terme. Les équations différentielles ont également été utilisées pour modéliser des phénomènes dans des domaines tels que la biologie, l'économie et l'écologie.

Aujourd'hui, les équations différentielles restent un domaine de recherche actif et important en mathématiques appliquées, en physique et en ingénierie. Ils sont utilisés pour modéliser des phénomènes dans une grande variété de domaines, pour prédire le comportement de systèmes complexes, et pour développer des algorithmes pour résoudre des problèmes pratiques.

A quoi ça sert ?

Les équations différentielles sont utilisées pour modéliser des phénomènes qui évoluent dans le temps. Elles permettent de décrire des phénomènes physiques, biologiques, économiques, etc. qui impliquent des changements continus et qui peuvent être décrits par des fonctions mathématiques. Par exemple, l'évolution de la population d'une espèce, la croissance d'une cellule, le mouvement d'un pendule, l'évolution de la température dans une pièce, le comportement d'un circuit électrique, la propagation d'une épidémie, etc.

Les équations différentielles sont utilisées dans de nombreux domaines de la science et de l'ingénierie, notamment :

• La physique : par exemple, l'équation de Schrödinger en mécanique quantique, l'équation de Navier-Stokes en mécanique des fluides, l'équation de la chaleur en thermodynamique, etc.
• L'ingénierie : par exemple, la modélisation de la dynamique des systèmes mécaniques, électriques, hydrauliques et thermiques, la conception de contrôleurs pour les systèmes de contrôle de processus, etc.
• La biologie : par exemple, la modélisation de la croissance de populations de cellules, la modélisation de la propagation de signaux électriques dans le cœur, la modélisation de la diffusion de molécules dans les tissus, etc.
• L'économie : par exemple, la modélisation de la croissance économique, la modélisation de la dynamique des marchés financiers, etc.
• Les sciences sociales : par exemple, la modélisation de la propagation de maladies dans les populations, la modélisation de la dynamique des interactions sociales, etc.

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Méthodes