On peut faire commencer l’histoire du concept de limite avec Zénon d'Élée, qui vécut autour de 450 avant Jésus-Christ et fut un disciple de Parménide. Il est surtout connu pour ses paradoxes qui prétendent démontrer l’impossibilité du mouvement.
Le premier de ces paradoxes est celui de la dichotomie, ou partage en deux : « Un mobile partant de A pour aller en B doit d'abord arriver en M1, milieu de [AB]. Puis il doit arriver en M2, milieu de [M1B], puis en M3, milieu de [M2B], et ainsi de suite, à l'infini... Devant parcourir cette infinité d'étapes, le mobile n'arrivera jamais au but.
La clé de ce paradoxe est que ces déplacements, en nombre infini, seront cependant parcourus en un temps fini.
Le second paradoxe de Zénon d'Élée est celui d'Achille et de la tortue : « Le plus lent à la course ne sera jamais rattrapé par le plus rapide, car celui qui poursuit doit toujours commencer par atteindre le point d'où est parti le fuyard, de sorte que le plus lent a toujours quelque avance. ». C’est le même problème que celui de la dichotomie et sa solution est identique.
L’Analyse fit d’énormes progrès au cours des XVIIe et XVIIIe siècles. Les mathématiciens de cette époque avaient une intuition claire de la notion de limite. On trouve l'idée par exemple chez Leibniz, dans le premier article qu'il publia, en février 16822. L’objet de cet article est de donner le nombre \( \pi \) comme la somme suivante : \( \pi = 4\left[ 1 - \frac13 + \frac 15 - \frac17 + \frac19 - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} ... \right] \) Et Leibniz d’écrire :
« L’ensemble de la série renferme donc en bloc toutes les approximations, c'est-à-dire les valeurs immédiatement supérieures et inférieures, car, à mesure qu’on la considère de plus en plus loin, l’erreur sera moindre [...] que toute grandeur donnée. »
Cependant, les mathématiciens de l’époque n’essayèrent pas de définir précisément le concept de limite. Ils se fiaient à leur intuition et menaient souvent des raisonnements peu rigoureux, qui parfois les induisaient en erreur. Mais, parmi tous les nouveaux résultats valables et intéressants découverts à cette époque, les erreurs commises pouvaient apparaître comme des incidents sans importance.
À mesure toutefois que s'étendaient les recherches et les découvertes en Analyse au cours de XIXesiècle, la nécessité de définir clairement les concepts et les termes mis en œuvre se fit sentir.
Cette mise en ordre commence avec Louis-Augustin Cauchy (1789-1857), qui fait de la limite une des notions centrales de l'Analyse. Il en donne la définition suivante dans son Cours d 'Analyse de l'École Polytechnique :
« Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur finie, de manière à en différer aussi peu qu'on voudra, cette dernière est appelée limite de toutes les autres. »
Cependant c’est à l’allemand Karl Weierstrass (1815-1897) que l’on doit le langage très précis, plus mathématique, qui seul permet de raisonner correctement.
Voici la définition moderne du fait qu’une suite admet une limite finie A :
On dit qu’une suite \( (u_n) \) de nombres réels admet pour limite le réel A si, pour tout réel strictement positif ε, aussi petit que l’on veut, il est possible de déterminer un entier naturel N, tel qu’au-delà du rang N, tous les termes de la suite u sont éloignés de A d’une distance inférieure ou égale à ε.
Soit encore : \( \forall \varepsilon >0 , \exists N \in \mathbb{N}, n \geq N \Rightarrow |u_n - l | \leq \varepsilon \)
Les suites sont un formidable outils mathématiques qui permette notamment d'étudier des phénonomènes concrets dans des domanines comme l'économie, l'évolution de populations en biologie, etc.
Le calcul des termes d'une suite a été largement facilité par l'arrivée de l'informatiques. Ceprendant; l'étude théorique des limites d'une suite se fait à la main.
| Diapo | Cours |
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| Diapo | Cours |
| Théorème de comparaison (minoration) |
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| Calculer des limites (2 exemples) |
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