Dimension d'un espace vectoriel

A quoi ça sert ?

Les propriétés de dimension des espaces vectoriels sont l'une des caractéristiques les plus importantes de ces structures mathématiques. La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une base de l'espace. Les propriétés de dimension incluent:

1. L'existence d'une base: Tout espace vectoriel a une base, c'est-à-dire un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent tout l'espace.
2. L'unicité de la dimension: La dimension d'un espace vectoriel est unique, ce qui signifie que tout choix de base pour l'espace aura le même nombre de vecteurs.
3. Le théorème de la dimension: Le théorème de la dimension stipule que si V est un espace vectoriel de dimension finie et que W est un sous-espace de V, alors la dimension de W est inférieure ou égale à la dimension de V.
4. La somme de dimensions: Si V et W sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors la dimension de leur somme directe est égale à la somme des dimensions de V et W, moins la dimension de leur intersection.
5. La dimension de l'espace nul: L'espace nul, qui ne contient que le vecteur nul, a une dimension de zéro.
6. Le théorème du rang énonce que si f est une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, alors la dimension de l'image de f (c'est-à-dire le sous-espace vectoriel engendré par les images des vecteurs de l'espace de départ) plus la dimension du noyau de f (c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs de l'espace de départ qui sont envoyés sur le vecteur nul dans l'espace d'arrivée) est égale à la dimension de l'espace de départ. En d'autres termes, si f : V → W est une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, alors dim(V) = dim(ker(f)) + dim(im(f)).

Ces propriétés de dimension sont importantes car elles permettent de caractériser les espaces vectoriels de manière précise et rigoureuse, et elles permettent également de résoudre de nombreux problèmes mathématiques en utilisant des techniques liées à la dimension, telles que les changements de base, la réduction de matrices et la détermination des sous-espaces de dimension maximale.