Les fonctions usuelles et complexes peuvent être mélangées pour créer des fonctions plus complexes et plus puissantes. Par exemple, la fonction exponentielle complexe est une combinaison de la fonction exponentielle et des nombres complexes, définie par : \(f(z) = e^{iz}\)
où z est un nombre complexe et i est l'unité imaginaire. Cette fonction est utilisée en mathématiques, en physique et en ingénierie pour modéliser des phénomènes ondulatoires, tels que les ondes électromagnétiques, les signaux sonores et les vibrations mécaniques.
De même, les fonctions trigonométriques peuvent être généralisées pour inclure des nombres complexes. Par exemple, la fonction sinus complexe est définie par : \(sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \)
où z est un nombre complexe et i est l'unité imaginaire. Cette fonction est utilisée pour résoudre des problèmes impliquant des ondes électromagnétiques, des vibrations mécaniques et des phénomènes périodiques en général.
Enfin, les fonctions usuelles peuvent être utilisées pour décrire des propriétés des nombres complexes. Par exemple, le module d'un nombre complexe z = a + bi est défini par : \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
ce qui correspond à la distance entre le point représentant z dans le plan complexe et l'origine. La fonction carré est également souvent utilisée pour simplifier les calculs impliquant des nombres complexes, car elle permet de transformer des racines carrées en termes plus simples. Par exemple, si z = a + bi, alors : \( z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 \)
ce qui permet de calculer facilement le carré d'un nombre complexe.
En somme, les fonctions usuelles et complexes peuvent être combinées pour créer des fonctions plus complexes et plus puissantes, et pour décrire des propriétés des nombres complexes.